Question

設（-∞，a）是函數f(x)=

1-2x

x-2

(x≠2)的反函數的一個單調遞增區(qū)間，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據函數f（x）的解析式求出x關于y的式子，在把x和y互換求出反函數f'（x）的解析式，用分離常數法對它進行變形，求出反函數f'（x）的單調區(qū)間，再由題意求出a的取值范圍．

解答：解：由題意知，設y=f(x)=

1-2x

x-2

(x≠2)，則x=

2y+1

y+2

，
∴f（x）的反函數f'（x）=

2x+1

x+2

（x≠-2），
又∵f'（x）=

2x+1

x+2

=2-

3

x+2

，
∴反函數f'（x）在區(qū)間（-∞，-2），（-2，+∞）上是增函數，
∵（-∞，a）是反函數f'（x）的一個單調遞增區(qū)間，
∴a≤-2．

點評：本題考查了反函數的性質，即由原函數求它的反函數的解析式，并求出它的定義域，又用了分離常數法化簡解析式后，求反函數的單調區(qū)間．