Question

已知，

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求證：當(dāng)時(shí)，．

 

Answer 1

（1）當(dāng)，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為,當(dāng)，函數(shù)的的單調(diào)增區(qū)間，減區(qū)間;(2)證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則若，則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，若，則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；（2）若可導(dǎo)函數(shù)在指定的區(qū)間上單調(diào)遞增（減），求參數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為恒成立，從而構(gòu)建不等式，要注意“=”是否可以取到．(3)對于恒成立的問題，常用到兩個(gè)結(jié)論：（1）（2）．

試題解析：【解析】
（1）

若時(shí)，恒成立

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為

若時(shí)，令，得；，

函數(shù)的的單調(diào)增區(qū)間，減區(qū)間

證明：設(shè)

故

，

在上為增函數(shù)．

又在上連續(xù)，，

在(1，＋∞)上恒成立．．

所以當(dāng)時(shí)，．

考點(diǎn)：（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用導(dǎo)數(shù)證明恒成立的問題．