Question

（2012•大連二模）已知函數(shù)f（x）定義域?yàn)閧x∈R|x≠0），對(duì)于定義域內(nèi)任意x、y，都有f（x）+f（y）=f（xy）．且x＞1時(shí)，f（x）＞0，則（　　）

A．f（x）是偶函數(shù)且在（-∞，0）上單調(diào)遞減

B．f（x）是偶函數(shù)且在（-∞，0）上單調(diào)遞增

C．f（x）是奇函數(shù)且在（-∞，0）上單調(diào)遞增

D．f（x）是奇函數(shù)且在（-∞，0）上單調(diào)遞減

Answer 1

分析：利用賦值法求出f（1），再求出f（-1）的值，利用偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)為偶函數(shù)；設(shè)x₁＜x₂＜0，作差得，f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）-f（x2•

x1

x2

）=f（x₂）-f（x₂）-f（

x1

x2

）=-f（

x1

x2

），根據(jù)x＞1時(shí)f（x）＞0，可判斷差的符號(hào)，由單調(diào)性定義即可判斷f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性；

解答：解：令x=y=1，得f（1）+f（1）=f（1），所以f（1）=0，
令x=y=-1，得f（-1）+f（-1）=f（1），所以f（-1）=0，
∵f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
設(shè)x₁＜x₂＜0，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）-f（x2•

x1

x2

）=f（x₂）-f（x₂）-f（

x1

x2

）=-f（

x1

x2

），
因?yàn)閤₁＜x₂＜0，所以

x1

x2

＞1，
所以f（

x1

x2

）＞0，所以f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
所以函數(shù)f（x）在（-∞，0）上遞減，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷問(wèn)題，定義是解決該類(lèi)題目的常用方法，要熟練掌握．