Question

如圖，有一塊半徑為1的半圓形鋼板，計(jì)劃剪成矩形ABCD的形狀，它的一邊AB在圓O的直徑上，另一邊CD的端點(diǎn)在圓周上．求矩形ABCD面積的最大值和周長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

分析：（1）表示出面積，利用基本不等式可得結(jié)論；
（2）方法一，利用導(dǎo)數(shù)的方法求最值；方法二，利用三角函數(shù)的知識(shí)求最值．

解答：解：（1）如圖，設(shè)OB=x，BC=y，∴x²+y²=1，-----------------------------------（1分）
∴SABCD=2xy≤x2+y2=1-------------------------------------------（4分）
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=

2

2

時(shí)取等號(hào)，即此時(shí)，S_ABCD的最大值是1．-------------------（5分）
（2）（方法一） 設(shè)矩形ABCD的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，∴L=4x+2y------------------（6分）
設(shè)∠BOC=θ，θ∈(0，

π

2

)，
∴y=sinθ，x=cosθ，∴L=4cosθ+2sinθ，L'=-4sinθ+2cosθ，令L'=0，得tanθ=

1

2

，-------（8分）
而tanθ＜

1

2

，時(shí)，L'＞0；而tanθ＞

1

2

，時(shí)，L'＜0，∴tanθ=

1

2

，L最大，-----（9分）
此時(shí)，

y

x

=tanθ=

1

2

，∴x=2y，又x2+y2=1，解得x=

2

5

，y=

1

5

故：L最大=

8

5

+

2

5

=2

5

--------------------------------------------（12分）
（2）（方法二）設(shè)矩形ABCD的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，∴L=4x+2y-------------------------（6分）
設(shè)∠BOC=θ，θ∈(0，

π

2

)，∴y=sinθ，x=cosθ，
∴L=4cosθ+2sinθ=

20

(

2

5

cosθ+

1

5

sinθ)=2

5

sin(θ+?)--------------（8分）
其中，

cos?= 1 5 sin?= 2 5

，tan?=2，
∵φ，θ為銳角，
∴φ+θ=

π

2

時(shí)，L最大=2

5

----------------------------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查基本不等式、導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．