Question

已知函數(shù)f(x)=log2

1-mx

x-1

(m≠1)是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)m的值．
（2）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=log2

1-mx

x-1

(m≠1)是奇函數(shù)，知f（x）+f（-x）=0，由此能求出m．
（2）函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．在（1，+∞）任取x₁，x₂，設(shè)1＜x₁＜x₂，利用單調(diào)函數(shù)的定義進(jìn)行證明．

解答：解：（1）∵f(x)=log2

1-mx

x-1

(m≠1)是奇函數(shù)，
∴f（x）關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴f（x）+f（-x）=0，
∴log2

1-mx

x-1

+log2

1+mx

-x-1

=log2(

1-mx

x-1

•

1+mx

-x-1

)=0，
∴

1-mx

x-1

•

1+mx

-x-1

=1，
解得m=-1或m=1（舍）
∴m=-1．
（2）函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
證明：在（1，+∞）任取x₁，x₂，設(shè)1＜x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）
=log2

1+x2

x2-1

-log2

1+x1

x1-1

=log2

(1+x2)(x1-1)

(x2-1)(1+x1)

，
∵1＜x₁＜x₂，
∴（1+x₂）（x₁-1）＞0，（x₂-1）（1+x₁）＞0
（1+x₂）（x₁-1）-（x₂-1）（1+x₁）
=（x₁+x₁x₂-1-x₂）-（x₂-1+x₁x₂-x₁）
=2x₁-2x₂＜0，
∴0＜

(1+x2)(x1-1)

(x2-1)(1+x1)

＜1，
∴log2

(1+x2)(x1-1)

(x2-1)(1+x1)

＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性的證明，解題時(shí)要注意對數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．