Question

已知函數(shù)．

（1）當時，求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當時，函數(shù)圖像上的點都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）當時，函數(shù)取得極大值；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）將代入函數(shù)解析式，直接利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間，從而可確定函數(shù)的極值；(2)將條件“在區(qū)間上為減函數(shù)”等價轉(zhuǎn)化為“不等式在區(qū)間上恒成立”，結(jié)合參數(shù)分離法進一步轉(zhuǎn)化為，從中根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)求出在上的最小值即可解決本小問；（3）因函數(shù)圖像上的點都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則當時，不等式恒成立，即恒成立，設(shè)（），只需即可，轉(zhuǎn)化思想的運用.

試題解析：（1）當時，

由，由

故當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減

所以當時，函數(shù)取得極大值 4分

（2），∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減

∴在區(qū)間上恒成立，即在上恒成立，只需不大于在上的最小值即可 6分

而，則當時，

∴，即，故實數(shù)的取值范圍是． 8分

（3）因圖像上的點在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，即當時，不等式恒成立，即恒成立，設(shè)（），只需即可．

由，

（�。┊�時，，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立． 9分

（ⅱ）當時，由，令，得或，

①若，即時，在區(qū)間上，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上無最大值，不滿足條件；

②若，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，同樣在上無最大值，不滿足條件． 11分

（ⅲ）當時，由，因，故，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立．

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是． 12分

考點：1.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)；2.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)；3.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)；4.分離參數(shù)法；5.分類討論的思想.