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19.如圖所示的多面體中,ABCD是菱形,BDEF是矩形,ED⊥平面ABCD,∠BAD=π3,AD=2,DE=3
(Ⅰ)異面直線AE與DC所成的角余弦值;
(Ⅱ)求證平面AEF⊥平面CEF;
(Ⅲ)在線段AB取一點(diǎn)N,當(dāng)二面角N-EF-C的大小為60°時,求|AN|.

分析 (Ⅰ)由AB∥DC,知∠BAE就是異面直線AE與DC所成的角,由此能求出異面直線AE與DC所成的角余弦值.
(Ⅱ)取EF的中點(diǎn)M,推導(dǎo)出∠AMC是二面角A-EF-C的平面角,由此能證明平面AEF⊥平面CEF.
(Ⅲ)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出結(jié)果.

解答 解:(Ⅰ)∵AB∥DC,
∴∠BAE就是異面直線AE與DC所成的角,
連接BE,在△ABE中,AB=2AE=7=BE,
cosBAE=7+472×2×7=77,
∴異面直線AE與DC所成的角余弦值為77.…(4分)
證明:(Ⅱ)取EF的中點(diǎn)M.由于ED⊥面ABCD,ED∥FB,
∴ED⊥AD,ED⊥DC,F(xiàn)B⊥BC,F(xiàn)B⊥AB,
又ABCD是菱形,BDEF是矩形,∴△ADE,△EDC,△ABF,△BCF是全等三角形,
∴AE=AF,CE=CF,∴AM⊥EF,CM⊥EF,
∴∠AMC是二面角A-EF-C的平面角  …(6分)
由題意AM=CM=6,AC=23,∴AM2+CM2=AC2,即AM⊥MC.
∴∠AMC=90°,∴平面AEF⊥平面CEF.…(8分)
解:(Ⅲ)建立如圖的直角坐標(biāo)系,由AD=2,
則M(32123),C(0,2,0),A313,E003,F313
平面CEF的法向量n1=AM=32323.(10分)
設(shè)N3λ0,則EN=3λ3EF=310
設(shè)平面NEF的法向量n2=xyz,
{EFn2=0ENn2=0,即{3x+y=03x+my3z=0,令x=1,則y=3z=1λ,得n2=131λ.(11分)
因?yàn)槎娼荖-EF-C的大小為60°,
所以cos60°=n2AN|n2||AN|=|32332+31λ|34+94+31+3+1λ2,…(12分)
整理得λ2+6λ-3=0,解得λ=233,…(13分)
所以|AN|=232…(14分)

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法,考查面面垂直的證明,考查滿足條件的線段長的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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