分析 (Ⅰ)由AB∥DC,知∠BAE就是異面直線AE與DC所成的角,由此能求出異面直線AE與DC所成的角余弦值.
(Ⅱ)取EF的中點(diǎn)M,推導(dǎo)出∠AMC是二面角A-EF-C的平面角,由此能證明平面AEF⊥平面CEF.
(Ⅲ)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出結(jié)果.
解答 解:(Ⅰ)∵AB∥DC,
∴∠BAE就是異面直線AE與DC所成的角,
連接BE,在△ABE中,AB=2,AE=√7=BE,
∴cos∠BAE=7+4−72×2×√7=√77,
∴異面直線AE與DC所成的角余弦值為√77.…(4分)
證明:(Ⅱ)取EF的中點(diǎn)M.由于ED⊥面ABCD,ED∥FB,
∴ED⊥AD,ED⊥DC,F(xiàn)B⊥BC,F(xiàn)B⊥AB,
又ABCD是菱形,BDEF是矩形,∴△ADE,△EDC,△ABF,△BCF是全等三角形,
∴AE=AF,CE=CF,∴AM⊥EF,CM⊥EF,
∴∠AMC是二面角A-EF-C的平面角 …(6分)
由題意AM=CM=√6,AC=2√3,∴AM2+CM2=AC2,即AM⊥MC.
∴∠AMC=90°,∴平面AEF⊥平面CEF.…(8分)
解:(Ⅲ)建立如圖的直角坐標(biāo)系,由AD=2,
則M(√32,12,√3),C(0,2,0),A(√3,1,√3),E(0,0√3),F(√3,1,√3).
平面CEF的法向量→n1=→AM=(−√32,32,√3).(10分)
設(shè)N(√3,λ,0),則→EN=(√3,λ,−√3),→EF=(√3,1,0)
設(shè)平面NEF的法向量→n2=(x,y,z),
則{→EF•→n2=0→EN•→n2=0,即{√3x+y=0√3x+my−√3z=0,令x=1,則y=−√3,z=1−λ,得→n2=(1,−√3,1−λ).(11分)
因?yàn)槎娼荖-EF-C的大小為60°,
所以cos60°=→n2•→AN→|n2|•|→AN|=|−√32−3√32+√3(1−λ)|√34+94+3√1+3+(1−λ)2,…(12分)
整理得λ2+6λ-3=0,解得λ=2√3−3,…(13分)
所以|AN|=2√3−2…(14分)
點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法,考查面面垂直的證明,考查滿足條件的線段長的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
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A. | ?x∈(0,+∞),lnx≠x-1 | B. | ?x∉(0,+∞),lnx=x-1 | ||
C. | ?x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1 | D. | ?x0∉(0,+∞),lnx0=x0-1 |
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A. | √2 | B. | 2√2 | C. | π2 | D. | π4 |
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