Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=2，a₂=4，當(dāng)n≥3時(shí)，S_n+S_n-2=2S_n-1+2
（I ）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（II ）設(shè)數(shù)列{b_n}對(duì)任意的n∈N⁺，均有an=b₁•S₁+b₂•S₂+…+b_nS_n成立，求b₁+b₂+…+b₂₀₁₁的值．

Answer 1

【答案】分析：（I ）先把S_n+S_n-2=2S_n-1+2進(jìn)行變形，整理得到a_n-a_n-1=2，再結(jié)合a₂-a₁=2即可得到數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（II ）先由a_n=b₁•S₁+b₂•S₂+…+b_nS_n；得到a_n-1=b₁•S₁+b₂•S₂+…+b_n-1S_n-1；進(jìn)而求出2=b_n•s_n，再結(jié)合第一問的結(jié)論求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，最后利用裂項(xiàng)求和即可得到結(jié)論．
解答：解：（I ）當(dāng)n≥3時(shí)，S_n+S_n-2=2S_n-1+2，
整理得：S_n-S_n-1=S_n-1-s_n-2+2；
∴a_n-a_n-1=2．
又a₂-a₁=2，
∴{a_n}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列．
∴a_n=2n．
（II ）∵a_n=b₁•S₁+b₂•S₂+…+b_nS_n；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-1=b₁•S₁+b₂•S₂+…+b_n-1S_n-1；
由（1），（2）得
當(dāng)n≥2時(shí)，
有2=b_n•s_n，即b_n=，
又a₁=b₁•s₁，∴b₁=1．
∵s_n==n（n+1）．
∴b_n===2（）．
∴b₁+b₂+…+b₂₀₁₁的=2（1-+-+…+-）=2（1-）=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列求和的裂項(xiàng)法、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．解決問題的關(guān)鍵在于由S_n+S_n-2=2S_n-1+2進(jìn)行變形，整理得到a_n-a_n-1=2．