Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中E為AB的中點(diǎn)．
（1）求直線A₁C₁與平面A₁B₁CD所成角大小；
（2）試確定直線BC₁與平面EB₁D的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）證明：平面EB₁D⊥平面B₁CD．

Answer 1

解：（1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中
A₁B₁⊥平面BC₁
∴A₁B₁⊥BC₁
又∵B₁C⊥BC₁
∴BC₁⊥平面A₁C
設(shè)B₁C∩BC₁=H，
則∠C₁A₁H是直線A₁C₁與平面A₁B₁CD所成角
又∵A₁C₁=a，C1H=
∴sin∠C₁A₁H=
∴∠C₁A₁H=30°
（2）直線BC₁∥平面EB₁D，理由如下：
取DB₁的中點(diǎn)O，則OH∥DC∥AB，OH=EB
∴四邊形OHBE是平行四邊形
∴BH∥EO
∴EO∥平面EB₁D，
∴BC₁∥平面EB₁D
證明：（3）∵BC₁⊥平面A₁C，BH∥EO
∴EO⊥平面B₁CD
∵EO?平面EB₁D
平面EB₁D⊥平面B₁CD
分析：（1）根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，我們可得BC₁⊥平面A₁C，進(jìn)而∠C₁A₁H是直線A₁C₁與平面A₁B₁CD所成角，解三角形C₁A₁H即可得到直線A₁C₁與平面A₁B₁CD所成角大小；
（2）取DB₁的中點(diǎn)O，由三角形中位線定理及正方體的幾何特征，可得四邊形OHBE是平行四邊形，進(jìn)而B(niǎo)H∥EO，由線面平行的判定定理可得EO∥平面EB₁D，即BC₁∥平面EB₁D
（3）結(jié)合（1），（2）中BC₁⊥平面A₁C，BH∥EO，由線面垂直的第二判定定理可得EO⊥平面B₁CD，再由面面垂直的判定定理可得平面EB₁D⊥平面B₁CD．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角，平面與平面垂直的判定，直線與平面垂直的判定，熟練掌握正方體的幾何特征，為證明線面垂直及線面平行準(zhǔn)備條件，是解答本題的關(guān)鍵．