Question

在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2

3

，M、N分別為AB、SB的中點．
（1）證明：AC⊥SB；
（2）（理）求二面角N-CM-B的正切值；
（3）求點B到平面CMN的距離．

Answer 1

分析：法一：
（1）取AC中點D，連接SD、DB．由SA=SC，AB=BC，知SD⊥AC，BD⊥AC，由此能夠證明AC⊥SB．
（2）由AC⊥平面SDB，AC?平面ABC，知平面SDB⊥平面ABC．過N作NE⊥BD于E，則NE⊥平面ABC，過E作EF⊥CM于F，連接NF，則NF⊥CM，∠NFE為二面角N-CM-B的平面角．由此能求出二面角N-CM-B的正切值．
（3）在Rt△NEF中，由NF=

EF2+EN2

=

3

2

，知S△CMN=

1

2

CM•NF=

3 3

2

，S△CMB=

1

2

BM•CM=2

3

．由V_B-CMN=V_N-CMB，能求出點B到平面CMN的距離．
法二：
（1）取AC中點O，連接OS、OB．由SA=SC，AB=BC，知AC⊥SO，AC⊥BO．所以SO⊥平面ABC，SO⊥BO．以D為原點，DA為x軸，DB為y軸，DS為z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，則

AC

=(-4，0，0)，

SB

=(0，2

3

，2

2

)，由此能證明AC⊥SB．
（2）由

CM

=(3，

3

，0)，

MN

=(-1，0，

2

)，設

n

=(x，y，z)為平面CMN的一個法向量，由

CM • n =3x+ 3 y=0 MN • n =-x+ 2 z=0

，得

n

=(

2

，-

6

，1)．由向量法能求出二面角N-CM-B的正切值．
（3）由

MB

=(-1，

3

，0)，

n

=(

2

，-

6

，1)為平面CMN的一個法向量，能求出點B到平面CMN的距離．

解答：解法1：（1）取AC中點D，連接SD、DB．
∵SA=SC，AB=BC∴SD⊥AC，BD⊥AC，
∴AC⊥平面SDB，又SB?平面SDB，
∴AC⊥SB．…（4分）
（2）∵AC⊥平面SDB，AC?平面ABC，
∴平面SDB⊥平面ABC．
過N作NE⊥BD于E，則NE⊥平面ABC，
過E作EF⊥CM于F，連接NF，
則NF⊥CM，∠NFE為二面角N-CM-B的平面角．
∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，
∴SD⊥平面ABC．
又NE⊥平面ABC，∴NE∥SD．
∵SN=NB，
∴NE=

1

2

SD=

1

2

SA2-AD2

=

1

2

12-4

=

2

，且ED=EB．
在正△ABC中，EF=

1

4

MB=

1

2

，
在Rt△NEF中，tan∠NFE=

EN

EF

=2

2

∴二面角N-CM-B的正切值為2

2

．…（8分）
（3）在Rt△NEF中，NF=

EF2+EN2

=

3

2

，
∴S△CMN=

1

2

CM•NF=

3 3

2

，
S△CMB=

1

2

BM•CM=2

3

．
設點B到平面CMN的距離為h，
∵V_B-CMN=V_N-CMB，NE⊥平面CMB，
∴

1

3

S△CMN•h=

1

3

S△CMB•NE，
∴h=

S△CMB•NE

S△CMN

=

4 2

3

．
即點B到平面CMN的距離為

4 2

3

．…（14分）
解法2：（1）取AC中點O，連接OS、OB．
∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SO，AC⊥BO．
∵平面SAC⊥平面ABC，
平面SAC∩平面ABC=AC，
∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO．
如圖所示建立空間直角坐標系O-xyz，
則A（2，0，0），B(0，2

3

，0)，C（-2，0，0），S(0，0，2

2

)，
∴

AC

=(-4，0，0)，

SB

=(0，2

3

，2

2

)，
∵

AC

•

SB

=(-4，0，0)•(0，2

3

，2

2

)=0，
∴AC⊥SB．…（6分）
（2）∵M(1，

3

，0)，N(0，

3

，

2

)，
又C（-2，0，0），∴

CM

=(3，

3

，0)，

MN

=(-1，0，

2

)．
設

n

=(x，y，z)為平面CMN的一個法向量，
則

CM • n =3x+ 3 y=0 MN • n =-x+ 2 z=0

，
取z=1，x=

2

，y=-

6

，
∴

n

=(

2

，-

6

，1)．
又

OS

=(0，0，2

2

)為平面ABC的一個法向量，
∴cos＜

n

，

OS

＞=

n • OS

| n |•| OS |

=

1

3

，
得sin＜

n

，

OS

＞=

2 2

3

∴tan＜

n

，

OS

＞=

2 2 3

1 3

=2

2

．
即二面角N-CM-B的正切值為2

2

．…（10分）
（3）由（1）（2）得

MB

=(-1，

3

，0)，
又

n

=(

2

，-

6

，1)為平面CMN的一個法向量，|

n

|=3，
∴點B到平面CMN的距離d=

| n • MB |

| n |

=

|- 2 -3 2 |

3

=

4 2

3

．…（14分）

點評：本題考查異面直線的證明，二面角正切值的求法和點到平面距離的計算，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．