Question

【題目】矩陣乘法運算的幾何意義為平面上的點在矩陣的作用下變換成點，記，且.

（1）若平面上的點在矩陣的作用下變換成點，求點的坐標；

（2）若平面上相異的兩點、在矩陣的作用下，分別變換為點、，求證：若點為線段上的點，則點在的作用下的點在線段上；

（3）已知△的頂點坐標為、、，且△在矩陣作用下變換成△，記△與△的面積分別為與，求的值，并寫出一般情況（三角形形狀一般化且變換矩陣一般化）下與的關系（不要求證明）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3），若變化矩陣為，則.

【解析】

（1）直接根據矩陣變換的計算，可得點的坐標；

（2）先求變換后的坐標，再利用斜率相等，即可證得共線；

（3）求出點，，，利用行列式計算三角形面積即可.

（1）設，則，

∴解得：，

∴.

（2）設，，

∵三點共線，∴，

∵，∴，，

∵，

，

∴，∴點在的作用下的點在線段上.

（3）∵，，，

∴，，.

∴.

∴.

若矩陣為，則.