【題目】如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點，．

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）要證明平面，只需證明，即可；

（2）以O為坐標原點，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標系，分別算出平面的法向量為，平面的法向量為，利用公式計算即可得到答案.

（1）由題設(shè)，知為等邊三角形，設(shè)，

則，，所以，

又為等邊三角形，則，所以，

，則，所以，

同理，又，所以平面；

（2）過O作∥BC交AB于點N，因為平面，以O為坐標原點，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，

，，，

設(shè)平面的一個法向量為，

由，得，令，得，

所以，

設(shè)平面的一個法向量為

由，得，令，得，

所以

故，

設(shè)二面角的大小為，則.

【點晴】

本題主要考查線面垂直的證明以及利用向量求二面角的大小，考查學生空間想象能力，數(shù)學運算能力，是一道容易題.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)滿足，，．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）當且時，求證：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】自由購是一種通過自助結(jié)算購物的形式．某大型超市為調(diào)查顧客自由購的使用情況，隨機抽取了100人，調(diào)查結(jié)果整理如下：

20以下

[20，30）

[30，40）

[40，50）

[50，60）

[60，70]

70以上

使用人數(shù)

3

12

17

6

4

2

0

未使用人數(shù)

0

0

3

14

36

3

0

（1）現(xiàn)隨機抽取1名顧客，試估計該顧客年齡在[30，50）且未使用自由購的概率；

（2）從被抽取的年齡在[50，70]使用的自由購顧客中，隨機抽取2人進一步了解情況，求這2人年齡都在[50，60）的概率；

（3）為鼓勵顧客使用自由購，該超市擬對使用自由購顧客贈送1個環(huán)保購物袋．若某日該超市預(yù)計有5000人購物，試估計該超市當天至少應(yīng)準備多少個環(huán)保購物袋？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在中，，，，分別為，的中點是由繞直線旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)，，.

（1）證明：平面；

（2）若，棱上是否存在一點，使得？若存在，確定點 的位置；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】中國古代教育要求學生掌握“六藝”，即“禮、樂、射、御、書、數(shù)”．某校為弘揚中國傳統(tǒng)文化，舉行有關(guān)“六藝”的知識競賽．甲、乙、丙三位同學進行了決賽．決賽規(guī)則：決賽共分場，每場比賽的第一名、第二名、第三名的得分分別為，選手最后得分為各場得分之和，決賽結(jié)果是甲最后得分為分，乙和丙最后得分都為分，且乙在其中一場比賽中獲得第一名，現(xiàn)有下列說法：

①每場比賽第一名得分分；

②甲可能有一場比賽獲得第二名；

③乙有四場比賽獲得第三名；

④丙可能有一場比賽獲得第一名.

則以上說法中正確的序號是______.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)有下列四個命題：

p1：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi).

p2：過空間中任意三點有且僅有一個平面.

p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.

p4：若直線l平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l.

則下述命題中所有真命題的序號是__________.

①②③④

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計算得，，，，.

（1）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值（這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；

（2）求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由.

附：相關(guān)系數(shù)r=，≈1.414.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐中，四邊形為矩形，，，.

（1）求證：平面；

（2）設(shè)，求平面與平面所成的二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2019年4月，河北、遼寧、江蘇、福建、湖北、湖南、廣東、重慶等8省市發(fā)布高考綜合改革實施方案，決定從2018年秋季入學的高中一年級學生開始實施“”高考模式.所謂“”，即“3”是指考生必選語文、數(shù)學、外語這三科；“1”是指考生在物理、歷史兩科中任選一科；“2”是指考生在生物、化學、思想政治、地理四科中任選兩科.

（1）若某考生按照“”模式隨機選科，求選出的六科中含有“語文，數(shù)學，外語，物理，化學”的概率.

（2）新冠疫情期間，為積極應(yīng)對“”新高考改革，某地高一年級積極開展線上教學活動.教育部門為了解線上教學效果，從當?shù)夭煌瑢哟蔚膶W校中抽取高一學生2500名參加語數(shù)外的網(wǎng)絡(luò)測試，并給前400名頒發(fā)榮譽證書，假設(shè)該次網(wǎng)絡(luò)測試成績服從正態(tài)分布，且滿分為450分.

①考生甲得知他的成績?yōu)?/span>270分，考試后不久了解到如下情況：“此次測試平均成績?yōu)?/span>171分，351分以上共有57人”，請用你所學的統(tǒng)計知識估計甲能否獲得榮譽證書，并說明理由；

②考生丙得知他的實際成績?yōu)?/span>430分，而考生乙告訴考生丙：“這次測試平均成績?yōu)?/span>201分，351分以上共有57人”，請結(jié)合統(tǒng)計學知識幫助丙同學辨別乙同學信息的真?zhèn)�，并說明理由.

附：；

；

.

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