Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+2x，g（x）=a（x²+x），若f（x）≤g（x）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

[1，+∞）

．

Answer 1

分析：f（x）≤g（x）恒成立，構(gòu)造新函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），則F（x）≤0恒成立，求導(dǎo)函數(shù)，是的F（x）的最大值小于0，就可以求出實(shí)數(shù)a的取值范圍

解答：解：設(shè)F（x）=f（x）-g（x），則F′(x)=-

(2x+1)(ax-1)

x

當(dāng)a≤0時，F(xiàn)′（x）≥0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）≤0不可能恒成立；
當(dāng)a＞0時，令F′（x）=0，得x=

1

a

，x=-

1

2

（舍去）．
當(dāng)0＜x＜

1

a

時，F(xiàn)′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)x＞

1

a

時，F(xiàn)′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；
故F（x）在（0，+∞）上的最大值是F(

1

a

)，依題意F(

1

a

)≤0恒成立，
即ln

1

a

+

1

a

-1≤0恒成立，
∵gg(a)=ln

1

a

+

1

a

-1單調(diào)遞減，且g（1）=0，
∴ln

1

a

+

1

a

-1≤0成立的充要條件是a≥1，
∴a的取值范圍是[1，+∞）．
故答案為：[1，+∞）．

點(diǎn)評：此題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)單調(diào)性的判定，函數(shù)最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想．