Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA1=

3

，AD=2

2

，P為C₁D₁的中點，M為BC的中點．
（Ⅰ）證明：AM⊥PM；
（Ⅱ）求AD與平面AMP所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角P-AM-D的大�。�

Answer 1

分析：（I）以D點為原點建立空間直角坐標系D-xyz如圖所示，可得D、P、C、A、M各點的坐標，從而得出

PM

、

AM

的坐標，計算出

PM

•

AM

=0即可得到AM⊥PM；
（II）利用垂直向量數(shù)量積為零的方法，建立方程組解出

n

=(

2

，1，

3

)是平面PAM的一個法向量，結合

DA

的坐標算出cos＜

DA

，

n

＞的值，利用直線與平面所成角的定義即可得到AD與平面AMP所成角的正弦值；
（III）向量

n

=(

2

，1，

3

)是平面PAM的一個法向量，而平面AMD的法向量為

m

=(0，0，1)，算出

m

、

n

夾角的余弦值等于

2

2

，從而得到二面角P-AM-D的大小為45°．

解答：解：（Ⅰ）以D點為原點，DA、DC、DD₁為x軸、y軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz…（1分）
可得D(0，0，0)，P(0，1，

3

)，C(0，2，0)，A(2

2

，0，0)，M(

2

，2，0)．
∴

PM

=(

2

，2，0)-(0，1，

3

)=(

2

，1，-

3

)，

AM

=(

2

，2，0)-(2

2

，0，0)=(-

2

，2，0)，
由此可得

PM

•

AM

=(

2

，1，-

3

)•(-

2

，2，0)=0，
即

PM

⊥

AM

，可得AM⊥PM．                …（4分）
（Ⅱ）設平面PAM的一個法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • PM =0 n • AM =0

，即

2 x+y- 3 z=0 - 2 x+2y=0

解得

z= 3 y x= 2 y

，
取y=1，得

n

=(

2

，1，

3

)，…（6分）
∴AD與平面AMP所成角θ的正弦值
sinθ=|cos＜

DA

，

n

＞|=

| DA • n |

| DA || n |

=

|(2 2 ，0，0)•( 2 ，1， 3 )|

2 2 ( 2 )2+12+( 3 )2

=

3

3

．                …（9分）
（Ⅲ）由（II），向量

n

=(

2

，1，

3

)是平面PAM的一個法向量，
∵平面AMD的法向量為

m

=(0，0，1)，可得cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

3

6

=

2

2

∴向量

m

，

n

的所成角等于45°，觀察圖形可得：二面角P-AM-D的大小等于45°．…（13分）

點評：本題利用空間向量的方法證明線線垂直，并求直線與平面所成角和平面與平面所成角的大小．著重考查了空間坐標系的建立、空間向量的坐標運算與向量的數(shù)量積等知識，屬于中檔題．