Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a1=

1

2

，an+1=an2+an，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則[

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2011+1

]的值等于（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：由題意說明數(shù)列的項為正，化簡數(shù)列遞推關(guān)系式為

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

，求出

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2011+1

的范圍，即可求出表達式的最大整數(shù)．

解答：解：又因為an+1=an2+an，即an+1-an =an2＞0，所以數(shù)列是增數(shù)列，
并且

1

an

＞0，
又因為an+1=an2+an，即an+1=an (1+an)，

1

an+1

=

1

an•(1+an)

=

1

an

-

1

1+an

所以

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

，即

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

，

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2011+1

=

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

a2010

-

1

a2011

=

1

a1

-

1

a2011

＜

1

a1

=2，
a1=

1

2

，a2=

3

4

，a3=

16

21

，

1

a1+1

+

1

a2+1

=

2

3

+

4

7

＞1．
所以

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2011+1

∈（1，2）．
所以[

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2011+1

]=1．
故選B．

點評：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，新定義的應(yīng)用，確定表達式的取值范圍是解題的關(guān)鍵，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．