Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，常數(shù)λ＞0，且λa₁a_n=S₁+S_n對一切正整數(shù)n都成立．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設a₁＞0，λ=100，當n為何值時，數(shù)列的前n項和最大？

Answer 1

解（I）當n=1時，
∴a₁（λa₁-2）=0
若取a₁=0，則s_n=0，a_n=s_n-s_n-1=0
∴a_n=0（n≥1）
若a₁≠0，則，當n≥2時，2a_n=，
兩式相減可得，2a_n-2a_n-1=a_n
∴a_n=2a_n-1，從而可得數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列
∴a_n=a₁•2^n-1==
綜上可得，當a₁=0時，a_n=0，當a₁≠0時，
（II）當a₁＞0且λ=100時，令
由（I）可知
∴{b_n}是單調遞減的等差數(shù)列，公差為-lg2
∴b₁＞b₂＞…＞b₆=＞0
當n≥7時，
∴數(shù)列的前6項和最大
分析：（I）由題意，n=1時，由已知可知a₁（λa₁-2）=0，分類討論：由a₁=0，及a₁≠0，結合數(shù)列的和與項的遞推公式可求
（II）由a₁＞0且λ=100時，令，則，結合數(shù)列的單調性可求和的最大項
點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式及利用數(shù)列的單調性求解數(shù)列的和的最大項，還考查了一定的邏輯運算與推理的能力．