已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率e=
1
2
，直線y=x+2經(jīng)過左焦點(diǎn)F1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P為橢圓C上的點(diǎn)，求∠F1PF2的范圍．
（1）直線y=x+2與x的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0），則F1的坐標(biāo)為（-2，0）．…（2分）
設(shè)焦距為2c，則c=2．∵e=
c
a
=
1
2
∴a=4，b2=a2-c2=12．…（5分）
則橢圓的方程為
x2
16
+
y2
12
=1．…（6分）
（2）當(dāng)P在橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，∠F1PF2=0（7分）
當(dāng)P不在橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，由定義可知，8=PF1+PF2≥2
PF1•PF2

∴
1
PF1•PF2
≥
1
16
當(dāng)且僅當(dāng)PF1=PF2時(shí)等號(hào)成立
△F1PF2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2=
|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2
2|PF1|×|PF2|
=
(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|×|PF2|-|F1F2|2
2|PF1|×|PF2|
（9分）
=
48-2|PF1|×|PF2|
2|PF1|×|PF2|
=
24
|PF1|×|PF2|
-1≥
24
16
-1=
1
2
，…（13分）
則0＜∠F1PF2≤
π
3
；
由上述可得∠F1PF2的取值范圍為[0，
π
3
]．…（14分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2
3
，右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長(zhǎng)為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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