Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³+bx（a，b為實(shí)數(shù)）．
（I）設(shè)a≠0，當(dāng)a+b=0時(shí)．求過(guò)點(diǎn)P（-1，0）且與曲線(xiàn)y=f（x）相切的直線(xiàn)方程；
（Ⅱ）設(shè)b＞0，當(dāng)a≤0且x∈[0，1]時(shí)，有f（x）∈[0，1），求b的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵a≠0，a+b=0，∴b=-a，則f（x）=ax³-ax，
∴f'（x）=3ax²-a，設(shè)切點(diǎn)T（x₀，y₀），則f'（x₀）=k_PT，
即：切線(xiàn)方程為，又∵切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P（-1，0），
∴，解得：x₀=-1或．
當(dāng)x₀=-1時(shí)，f'（x₀）=2a，切線(xiàn)方程為y=2ax+2a，
當(dāng)時(shí)，，切線(xiàn)方程為．
（Ⅱ） ①當(dāng)a=0，b＞0時(shí)，f（x）=bx在[0，1]上遞增，∴b≤1．
②當(dāng)a＜0，b＞0時(shí)，令f'（x）=3ax²+b=0，得，f（x）在[0，]上遞增，
（ i ） 若時(shí)，f（x）在[0，1]上遞增，
∵f（0）=0，
∴，即：，由線(xiàn)性規(guī)劃知：．
（ ii ） 若時(shí)，f（x）在[0，]上遞增，在[，1]上遞減，
又f（0）=0，由題意得：，
由得，，
即：，得4b³≤-27a．
又a+b≥0，∴a≥-b，
∴4b³≤27b，得．
當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足．
綜上所述：b的最大值為．
分析：（I）設(shè)切點(diǎn)T（x₀，y₀），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得f'（x₀）=k_PT，利用點(diǎn)斜式得到切線(xiàn)方程，把點(diǎn)P（-1，0）代入即可得到x₀，進(jìn)而即可得到切線(xiàn)方程；
（II）通過(guò)對(duì)a，b分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性得出值域即可．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線(xiàn)方程、分類(lèi)討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．