Question

已知函數(shù)f(x)=-x， g(x)=

1-2x

1+2x

，H（x）=f（x）+g（x）
（1）判斷并證明函數(shù)g（x）的單調(diào)性．
（2）當(dāng)x∈[-

1

2

，1]時，求H（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）先判定函數(shù)的單調(diào)性，然后證明，在定義域中任取兩個實(shí)數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，然后判定g（x₁）-g（x₂）的符號，根據(jù)單調(diào)性的定義可得結(jié)論；
（2）根據(jù)兩個單調(diào)減函數(shù)相加還為減函數(shù)可知H（x）在R上單調(diào)遞減，可求出函數(shù)H（x）的最小值．

解答：解：（1）g(x)=

1-2x

1+2x

=-1+

2

1+2x

由2^x在R上單調(diào)遞增，得g（x）為單調(diào)減函數(shù)．
證明：g(x)=

1-2x

2x+1

=-1+

2

2x+1

在定義域中任取兩個實(shí)數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂
g(x1)-g(x2)=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂
∴2x1＜2x2
從而g（x₁）-g（x₂）＞0
所以函數(shù)g（x）在x∈R上為單調(diào)減函數(shù)．．
（2）H（x）=f（x）+g（x）
=-x+

1-2x

1+2x

∵f（x）在R上單調(diào)減函數(shù)，g（x）在x∈R上為單調(diào)減函數(shù)
∴H（x）為R上的單調(diào)減函數(shù)，得H（1）最小，最小值為-

3

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，以及利用單調(diào)性研究函數(shù)最值，屬于中檔題．