Question

已知F₁、F₂是雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1的左右焦點(diǎn)，A是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)M（5，1）求|AM|+|AF₂|的最小值；
（2）若點(diǎn)M（5，n）求|AM|+|AF₂|的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）求出雙曲線的a，b，c，焦點(diǎn)F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0），運(yùn)用雙曲線的定義可得|AM|+|AF₂|=|AM|+|AF₁|-8，連接MF₁，由兩點(diǎn)間線段最短，即可得到最小值；
（2）討論當(dāng)|n|≤

9

4

時(shí)，M在雙曲線上或開(kāi)口之內(nèi)，連接MF₁，當(dāng)|n|＞

9

4

時(shí)，M在雙曲線的開(kāi)口之外，連接MF₂，
由兩點(diǎn)間最短，即可得到最小值．

解答： 解：（1）雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1的a=4，b=3，
c=

16+9

=5，F(xiàn)₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0），
則由定義可得|AF₁|-|AF₂|=2a=8，
|AM|+|AF₂|=|AM|+|AF₁|-8，
連接MF₁，則|AM|+|AF₁|-8≥|MF₁|-8
=

(5+5)2+1

-8=

101

-8，
當(dāng)且僅當(dāng)M，A，F(xiàn)₁共線時(shí)，取得最小值，
且為

101

-8；
（2）當(dāng)|n|≤

9

4

時(shí)，M在雙曲線上或開(kāi)口之內(nèi)，
則連接MF₁，則|AM|+|AF₁|-8≥|MF₁|-8
=

(5+5)2+n2

-8，
當(dāng)且僅當(dāng)M，A，F(xiàn)₁共線時(shí)，取得最小值，且為

100+n2

-8；
當(dāng)|n|＞

9

4

時(shí)，M在雙曲線的開(kāi)口之外，連接MF₂，
則|AM|+|AF₂|≥|MF₂|=|n|．
當(dāng)且僅當(dāng)M，A，F(xiàn)₂共線時(shí)，取得最小值，且為|n|．
綜上可得，當(dāng)|n|≤

9

4

時(shí)，|AM|+|AF₂|的最小值為

100+n2

-8；
當(dāng)|n|＞

9

4

時(shí)，最小值為|n|．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查兩點(diǎn)之間線段最短，考查兩點(diǎn)的距離公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．