Question

若0＜x＜1,求證:|log_a(1-x)|＞|log_a(1+x)|(a＞0,且a≠1).

Answer 1

證法一:|log_a(1-x)|²-|log_a(1+x)|²=［log_a(1-x)+log_a(1+x)］·［log_a(1-x)-log_a(1+x)］

=log_a(1-x)²·log_a.

∵0＜x＜1,∴0＜1-x²＜1,0＜＜1.∴a＞1時(shí),log_a(1-x²)＜0,log_a＜0,0＜a＜1時(shí),

log_a(1-x²)＞0,log_a＞0,無(wú)論何種情形,都有l(wèi)og_a(1-x²)·log_a＞0.

∴|log_a(1-x)|²＞|log_a(1+x)|²|log_a(1-x)|＞|log_a(1+x)|.

證法二:=||=|log_(1+x)(1-x)|=-log_(1+x)(1-x)=log_(1+x),而

(1-x)(1+x)=1-x²＜1,∴＞1+x＞1.

∴l(xiāng)og_(1+x)＞log_(1+x)(1+x)=1.

∴|log_a(1-x)|＞|log_a(1+x)|.