Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，滿足f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值是．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=lnx-2x+f（x），若函數(shù)h（x）在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)二次函數(shù)f（x），滿足f（0）=f（1），且f（x）的最小值是．可得函數(shù)圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出函數(shù)的頂點(diǎn)式，代入f（0）=0可得函數(shù)的解析式．
（II）由（I）可得函數(shù)h（x）的解析式，進(jìn)而求出其導(dǎo)函數(shù)的解析式，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在（，1）為負(fù)，結(jié)合函數(shù)h（x）在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，可構(gòu)造關(guān)于m的不等式組，解不等式組可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵二次函數(shù)f（x）滿足f（0）=f（1）=0
故函數(shù)的圖象關(guān)于x=對(duì)稱(chēng)
設(shè)，
又f（0）=0
∴a=1，
故f（x）=x²-x
（Ⅱ）h（x）=lnx-2x+x²-x=lnx+x²-3x
∴
∵當(dāng)x∈（-∞，0）∪（，1）時(shí)，h′（x）＜0
且函數(shù)h（x）在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，
∴
解得
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)解析式的求法，是二次函數(shù)圖象和性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度不大．