Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，點D是AB的中點．
（Ⅰ）求證：AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求二面角D-CB₁-B的平面角的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)所給的直三棱柱的條件，寫出勾股定理得到兩條線段垂直，根據(jù)側棱與底面垂直，得到一條直線與一個平面上的兩條相交直線垂直，得到線面垂直，進而得到線線垂直．
（II）以CA、CB、CC₁分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系，寫出要用的點的坐標，寫出向量，設出平面的法向量，求出法向量，根據(jù)兩個向量的夾角（或其補角）的大小就是二面角D-CB₁-B的大小．
解答：解：（Ⅰ）證明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，
∵AC²+BC²=AB²
∴AC⊥BC，
又 AC⊥C₁C，且BC∩C₁C=C
∴AC⊥平面BCC₁，又BC₁?平面BCC₁
∴AC⊥BC₁           
（II）以CA、CB、CC₁分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系
∵AC=3，BC=4，AA₁=4，
∴A（3，0，0），B（0，4，0）C（0，0，0），，
B₁（0，4，4），
∴，
平面CBB₁C₁的法向量，
設平面DB₁C的法向量，
則，的夾角（或其補角）的大小就是二面角D-CB₁-B的大小  
則由令x=4，則y=-3，z=3
∴…（10分）
，則
∵二面角D-B₁C-B是銳二面角
∴二面角D-B₁C-B的正切值為
點評：本題考查空間中直線與平面之間的垂直關系，用空間向量求解面與面的夾角，本題解題的關鍵是建立坐標系，把理論的推導轉化成數(shù)字的運算，降低了題目的難度．