Question

已知函數(shù)f（x）=x²（x-a）+bx
（Ⅰ）若a=3，b=l，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若b=a+

10

3

，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上既能取到極大值又能取到極小值，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若b=0，不等式

f(x)

x2

-1nx+1≥0對(duì)任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，確定切線的斜率，切點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f（x）在（1，+∞）上既能取到極大值又能取到極小值，建立不等式，即可求a的取值范圍；
（Ⅲ）不等式

f(x)

x2

-1nx+1≥0對(duì)任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，可化為x-lnx+1≥a對(duì)任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，確定左邊的最小值，即可求得a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）若a=3，b=l，則f（x）=x³-3x²+x，∴f′（x）=3x²-6x+1
∴f′（1）=3×1²-6+1=-2，f（1）=-1
∴函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y+1=-2（x-1），即y=-2x+1；
（Ⅱ）∵b=a+

10

3

，∴f（x）=x³-ax²+（a+

10

3

）x，∴f′（x）=3x²-2ax+a+

10

3

∵函數(shù)f（x）在（1，+∞）上既能取到極大值又能取到極小值，
∴

4a2-12(a+ 10 3 )＞0 2a 6 ＞1 3-2a+a+ 10 3 ＞0

，∴5＜a＜

19

3

；
（Ⅲ）若b=0，則f（x）=x²（x-a）
∴不等式

f(x)

x2

-1nx+1≥0對(duì)任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，可化為x-lnx+1≥a對(duì)任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，
設(shè)g（x）=x-lnx+1，則g′（x）=1-

1

x

令g′（x）＜0，∵x≥

1

2

，∴可得

1

2

≤x＜1；g′（x）＞0，∵x≥

1

2

，∴可得x＞1
∴g（x）在[

1

2

，1)上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增
∴g（x）的最小值為g（1）=2
∴a≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的極值，考查恒成立問題，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．