Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x（e^x-1）-ax²
（Ⅰ）若a=，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若當(dāng)x≥0時(shí)f（x）≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（II）f（x）=x（e^x-1-ax），令g（x）=e^x-1-ax，分類討論，確定g（x）的正負(fù)，即可求得a的取值范圍．
解答：解：（I）a=時(shí)，f（x）=x（e^x-1）-x²，=（e^x-1）（x+1）
令f′（x）＞0，可得x＜-1或x＞0；令f′（x）＜0，可得-1＜x＜0；
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-1），（0，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（-1，0）；
（II）f（x）=x（e^x-1-ax）．
令g（x）=e^x-1-ax，則g'（x）=e^x-a．
若a≤1，則當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，而g（0）=0，從而當(dāng)x≥0時(shí)g（x）≥0，即f（x）≥0．
若a＞1，則當(dāng)x∈（0，lna）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，而g（0）=0，從而當(dāng)x∈（0，lna）時(shí)，g（x）＜0，即f（x）＜0．
綜合得a的取值范圍為（-∞，1]．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．