Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+ln（2-x）+ax（a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）若f（x）在（0，1]上的最大值為

1

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）已知a=1，f′（x）=

1

x

-

1

2-x

+1，求解f（x）的單調(diào)區(qū)間，只需令f′（x）＞0解出單調(diào)增區(qū)間，令f′（x）＜0解出單調(diào)減區(qū)間．
（2）區(qū)間（0，1]上的最值問題，通過導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)性，結(jié)合極值點和端點的比較得到，確定待定量a的值．

解答：解：對函數(shù)求導(dǎo)得：f′(x)=

1

x

-

1

2-x

+a，定義域為（0，2）
（1）當(dāng)a=1時，f′（x）=

1

x

-

1

2-x

+1，
當(dāng)f′（x）＞0，即0＜x＜

2

時，f（x）為增函數(shù)；當(dāng)f′（x）＜0，

2

＜x＜2時，f（x）為減函數(shù)．
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，

2

），單調(diào)減區(qū)間為（

2

，2）
（2）函數(shù)f（x）=lnx+ln（2-x）+ax（a＞0）．
，f′(x)=

1

x

-

1

2-x

+a＞0，所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，（0，1]為單調(diào)遞增區(qū)間．
最大值在右端點取到．fmax=f(1)=a=

1

2

所以a=

1

2

．

點評：考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)最值等知識．