Question

15．已知橢圓具有性質(zhì)：若M，N是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0且a，b為常數(shù)）上關(guān)于y軸對稱的兩點，P是橢圓上的左頂點，且直線PM，PN的斜率都存在（記為k_PM，k_PN），則k_PM•k_PN=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$．類比上述性質(zhì)，可以得到雙曲線的一個性質(zhì)，并根據(jù)這個性質(zhì)得：若M，N是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上關(guān)于y軸對稱的兩點，P是雙曲線C的左頂點，直線PM，PN的斜率都存在（記為k_PM，k_PN），雙曲線的離心率e=$\sqrt{5}$，則k_PM•k_PN等于-4．

Answer 1

分析 設(shè)點M的坐標為（m，n），則點N的坐標為（-m，n），且$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{n}^{2}}{^{2}}=1$，又設(shè)點P的坐標為（-a，0），表示出直線PM和PN的斜率，求得兩直線斜率乘積的表達式即可

解答 解：M，N是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上關(guān)于y軸對稱的兩點，
P是雙曲線C的左頂點，直線PM，PN的斜率都存在（記為k_PM，k_PN）
設(shè)設(shè)點M的坐標為（m，n），則點N的坐標為（-m，n），則$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{n}^{2}}{^{2}}=1$，
即n²=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}（{m}^{2}-{a}^{2}）$，又設(shè)點P的坐標為（-a，0），
由k_PM=$\frac{n}{m+a}$，k_PN=$\frac{n}{a-m}$，
∴k_PM•k_PN⁼$\frac{{n}^{2}}{{a}^{2}-{m}^{2}}=\frac{^{2}}{{a}^{2}}（{m}^{2}-{a}^{2}）$×$\frac{1}{{a}^{2}-{m}^{2}}=-\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=-（e²-1）（常數(shù)）．
∴雙曲線的離心率e=$\sqrt{5}$時，則k_PM•k_PN等于-4．
故答案為：-4

點評 本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)，考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力，正確運算是關(guān)鍵．屬于中檔題．