Question

已知中心在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C，其長軸的長為6，點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為該橢圓上的動點(diǎn)，且△F₁PF₂ 面積的最大值為2

5

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求

1

PF 2 1

+

1

PF 2 2

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)橢圓的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由于長軸的長為6，點(diǎn)P為該橢圓上的動點(diǎn)，且△F₁PF₂ 面積的最大值為2

5

．可得2a=6，

1

2

•2c•b=2

5

，a²=b²+c²，解出即可．
（2））|PF₁|+|PF₂|=6，設(shè)|PF₁|=t，可得a-c≤t≤a+c．分類討論：當(dāng)c=2時，t∈[1，4]；當(dāng)c=

5

時，t∈[3-

5

，3+

5

]．

1

PF 2 1

+

1

PF 2 2

=

1

t2

+

1

(6-t)2

=f（t），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵長軸的長為6，點(diǎn)P為該橢圓上的動點(diǎn)，且△F₁PF₂ 面積的最大值為2

5

．
∴2a=6，

1

2

•2c•b=2

5

，又a²=b²+c²，
解得a=3，b²=5或4．
∴橢圓的方程為：

x2

9

+

y2

5

=1或

x2

9

+

y2

4

=1．
（2）|PF₁|+|PF₂|=6，設(shè)|PF₁|=t，則a-c≤t≤a+c，
①當(dāng)c=2時，t∈[1，4]，

1

PF 2 1

+

1

PF 2 2

=

1

t2

+

1

(6-t)2

=f（t），
f′（t）=-

2

t3

+

2

(6-t)3

=

2(t-3)(t2-6t+36)

t3(6-t)3

，令f′（t）=0，解得t=3．
令f′（t）＞0，解得3＜t≤4，函數(shù)f（t）單調(diào)遞增；令f′（t）＜0，解得1≤t＜3，函數(shù)f（t）單調(diào)遞減．
而f（1）=

26

25

，f（4）=

5

16

，f（3）=

2

9

．
∴f(t)∈[

2

9

，

26

25

]．
②當(dāng)c=

5

時，t∈[3-

5

，3+

5

]，同理可得：f（t）∈[

2

9

，

7

4

]．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．