Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，且2n Sn+1-2 (n+1)Sn=n2+n（n∈N⁺）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

n

2 (n+3)Sn

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）證明：n≥2時(shí)，

1

a 3 2

+

1

a 3 3

+

1

a 3 4

+…+

1

a 3 n

＜

1

4

．

Answer 1

分析：（1）由已知遞推式2n Sn+1-2 (n+1)Sn=n2+n（n∈N⁺）變形為

2Sn+1

n+1

-

2Sn

n

=1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出S_n，進(jìn)而得到a_n．
（2）利用（1）即可得出b_n，再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出T_n．
（3））利用放縮法

1

an3

=

1

n3

=

1

n•n2

＜

1

n(n2-1)

=

1

(n-1)n(n+1)

=

1

2

[

1

n(n-1)

-

1

n(n+1)

]，再利用“裂項(xiàng)求和”和放縮即可得出．

解答：解：（1）∵

2Sn+1

n+1

-

2Sn

n

=1，∴數(shù)列{

2Sn

n

}是等差數(shù)列，且

2S1

1

=2，
∴

2Sn

n

=n+1，故Sn=

n(n+1)

2

=

1

2

n2+

1

2

n=

n(1+n)

2

，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1，
∴a_n=n．
（2）bn=

n

2(n+3)Sn

=

1

(n+3)(n+1)

=

1

2

(

1

n+1

-

1

n+3

)，
∴Tn=

1

2

[(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

4

-

1

6

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)+(

1

n+1

-

1

n+3

)]
=

1

2

(

1

2

+

1

3

-

1

n+2

-

1

n+3

)=

5

12

-

2n+5

2(n+2)(n+3)

．
（3）∵

1

an3

=

1

n3

=

1

n•n2

＜

1

n(n2-1)

=

1

(n-1)n(n+1)

=

1

2

[

1

n(n-1)

-

1

n(n+1)

]，
∴

1

a32

+

1

a33

+…+

1

a3n

＜

1

2

[(

1

2×1

-

1

2×3

)+(

1

3×2

-

1

3×4

)+(

1

4×3

-

1

4×5

)+…+(

1

n(n-1)

-

1

n(n+1)

)]
=

1

2

(

1

2

-

1

n(n+1)

)=

1

4

-

1

2

•

1

n(n+1)

＜

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等差數(shù)列的定義通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”、放縮法等是解題的關(guān)鍵．