Question

18．已知：二項(xiàng)式${（1+\sqrt{2}x）^n}$展開(kāi)式中所有項(xiàng)的 二項(xiàng)式系數(shù)和為64，
（1）求n的值；
（2）若展開(kāi)式所有項(xiàng)的 系數(shù)和為$a+b\sqrt{2}$，其中a，b為有理數(shù)，求a和b的值．

Answer 1

分析 （1）由題意，2ⁿ=64，解得即可，
（2）方法一：求出通項(xiàng)公式，即可求出a，b，
方法二：賦值法，令x=1時(shí)求出a+b$\sqrt{2}$=99+70$\sqrt{2}$，問(wèn)題得以解決

解答 解：（1）由題意，2ⁿ=64，n=6
（2）展開(kāi)式的通項(xiàng)為${T_{r+1}}=C_6^r{（\sqrt{2}x）^r}=C_6^r{2^{\frac{r}{2}}}{x^r}$（r=0，1，2，…，6）．
則$a=C_6^0+2C_6^2+4C_6^4+8C_6^6=99$，
$b=C_6^1+2C_6^3+4C_6^5=70$
方法二令x=1，則${（1+\sqrt{2}）^6}=a+b\sqrt{2}$，
因?yàn)?{（1+\sqrt{2}）^6}={[{（1+\sqrt{2}）^2}]^3}={（3+2\sqrt{2}）^3}=37+54\sqrt{2}+72+16\sqrt{2}=99+70\sqrt{2}$
故，a=99，b=70．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，著重考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．