Question

如圖，在等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=

2

，A為PB邊上一點(diǎn)，且PA=1，將△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）若M為PB的中點(diǎn)，試求異面直線AN和BC所成的角的余弦值．
（Ⅲ）試問(wèn)：在側(cè)棱PB上是否存在一點(diǎn)Q，使截面AQC把幾何體分成的兩部分的體積之比V_PDCQA：V_QACB=7：2？若存在，請(qǐng)求PQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由CD⊥AD和平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明；
（Ⅱ）如圖，把四棱錐P-ABCD補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，則有AM∥DF，DG∥CB，可得到∠FDG就是異面直線AM和BC所成的角，再在△GBE中，求得GE，在△GEF中，求得FG，在△FDG中，求得DG，利用由余弦定理求解．
（Ⅲ）假設(shè)在側(cè)棱PB上存在一點(diǎn)Q，滿足條件V_PDCQA：V_QACB=7：2，轉(zhuǎn)化為

1

3

hS△ABC =

2

9

1

3

PASABCD，再由相似性求解．

解答：證明：（Ⅰ）依題意知PA=1，PD=

2

∴AD⊥AB，
又CD∥AB
∴CD⊥AD
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
CD⊥平面PAD（4分）

（Ⅱ）如圖，把四棱錐P-ABCD補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，
其中C，G分別為所在棱的中點(diǎn)，則易得AM∥DF，DG∥CB，
所以∠FDG就是異面直線AM和BC所成的角（6分）
連接FG，在△GBE中，GE=

GB2+BE2

=

2

在△GEF中，F(xiàn)G=

GE2+FE2

=

3

在△FDG中，DG=GE=

2，

DF=

DE2+FE2

=

5

，
由余弦定理可得：
cos∠FDG=

DF2+DG2-FG2

2•DF•DG

=

10

5

（8分）
所以異面直線AM和BC所成的角的余弦值為

10

5

．（9分）

（Ⅲ）解：假設(shè)在側(cè)棱PB上存在一點(diǎn)Q，滿足條件
∵V_PDCQA：V_QACB=7：2
∴VQ-ACB=

2

9

VP-ABCD（11分）
又由∠PAD=∠DAB=90°知PA⊥平面ABCD，又
SABCD=

1

2

(DC+AB)AD=

3

2

，S_△ABC=1．
設(shè)Q到平面ABCD的距離為h，則

1

3

hS△ABC =

2

9

1

3

PASABCD
∴h=

1

3

（12分）
又∵

h

PA

=

BQ

BP

，∴

BQ

BP

=

1

3

故PQ=

2

3

PB=

2

3

5

（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查面面垂直的性質(zhì)定理，用余弦定理求解異面直線所成角和通過(guò)相似性來(lái)求解線段的長(zhǎng)度等，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化化歸的能力．