二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，（a是正整數(shù)），c≥1，a+b+c≥1，方程ax2+bx+c=0有兩個小于1的不等正根，則a的最小值為    ．
【答案】分析：將二次函數(shù)f（x）設成兩根式，根據(jù)條件建立關系式，將a分離出來，然后利用基本不等式求出最值即可．
解答：解：設f（x）=a（x-p）（x-q），其中p，q屬于（0，1）且p不等于q．
由f（0）≥1及f（1）≥1，可得
apq≥1，a（1-p）（1-q）≥1，
兩式相乘有a2p（1-p）q（1-q）≥1，
即a2≥，
又由基本不等式易知
p（1-p）q（1-q）≤
由于上式取等號當且僅當p=q=與已知矛盾，故上式的等號取不到，故
p（1-p）q（1-q）＜
因此得到a2＞16即a＞4
而函數(shù)f（x）=5x2-5x+1滿足題設的所有條件，因此a的最小值為5．
點評：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運用，以及根的分別問題，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=a（x+1）2+4-a，其中a為常數(shù)且0＜a＜3．取x1，x2滿足：x1＞x2，x1+x2=1-a，則f（x1）與f（x2）的大小關系為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=a（x-m）（x-n）（m＜n），若不等式f（x）＞0的解集是（m，n）且不等式f（x）+2＞0的解集是（α，β），則實數(shù)m、n、α、β的大小關系是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年人教B版高中數(shù)學必修一2.4函數(shù)的零點練習卷（一）（解析版） 題型：解答題

已知二次函數(shù)f（x）=a+bx（ａ，ｂ是常數(shù)且ａ０）滿足條件：ｆ（２）＝０．方程ｆ（ｘ）＝ｘ有等根

（１）求f（x）的解析式；

（２）問：是否存在實數(shù)ｍ，ｎ使得ｆ（ｘ）定義域和值域分別為［ｍ，ｎ］和

［２ｍ，２ｎ］，如存在，求出ｍ，ｎ的值；如不存在，說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知二次函數(shù)f（x）=a（x+1）2+4-a，其中a為常數(shù)且0＜a＜3．取x1，x2滿足：x1＞x2，x1+x2=1-a，則f（x1）與f（x2）的大小關系為（　�。�
A．不確定，與x1，x2的取值有關
B．f（x1）＞f（x2）
C．f（x1）＜f（x2）
D．f（x1）=f（x2）

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科目：高中數(shù)學 來源：2006-2007學年廣東省陽江市高二（上）期末數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知二次函數(shù)f（x）=a（x-m）（x-n）（m＜n），若不等式f（x）＞0的解集是（m，n）且不等式f（x）+2＞0的解集是（α，β），則實數(shù)m、n、α、β的大小關系是（ ）
A．m＜α＜β＜n
B．α＜m＜n＜β
C．m＜α＜n＜β
D．α＜m＜β＜n

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