12.已知函數(shù)f(x)=a$\sqrt{x}$+b(lnx+1)+1的圖象在x=1處的切線方程為x+2y-3=0.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)證明:當(dāng)x>0時(shí),恒有$\sqrt{x}$>lnx;
(Ⅲ)當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)≥(m-1)x+$\sqrt{x}$-1,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析 (Ⅰ)求導(dǎo)數(shù),利用f(x)在x=1處的切線方程為x+2y-3=0,建立方程組,即可求a,b的值;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知$f(x)=\sqrt{x}-lnx$,求導(dǎo)數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,得出f(x)≥f(4)=2-ln4>0,即可證明:當(dāng)x>0時(shí),恒有$\sqrt{x}$>lnx;
(Ⅲ)$f(x)≥(m-1)x+\sqrt{x}-1$,即$m≤1+\frac{1}{x}-\frac{lnx}{x}$在(0,+∞)恒成立,構(gòu)造函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,求出最小值,即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解答 解:(Ⅰ)∵$f'(x)=\frac{a}{{2\sqrt{x}}}+\frac{x}$,f(x)在x=1處的切線方程為x+2y-3=0
∴$\left\{\begin{array}{l}f(1)=1\\ f'(1)=-\frac{1}{2}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a+b+1=1\\ \frac{a}{2}+b=-\frac{1}{2}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-1\end{array}\right.$
證明:(Ⅱ)由(Ⅰ)知$f(x)=\sqrt{x}-lnx$,
∴$f'(x)=\frac{1}{{2\sqrt{x}}}-\frac{1}{x}=\frac{{\sqrt{x}-2}}{2x}$
當(dāng)x∈(0,4),f'(x)<0,當(dāng)x∈(4,+∞),f'(x)>0,
∴f(x)≥f(4)=2-ln4>0,即$\sqrt{x}>lnx$
解:(Ⅲ)$f(x)≥(m-1)x+\sqrt{x}-1$,
即$m≤1+\frac{1}{x}-\frac{lnx}{x}$在(0,+∞)恒成立
設(shè)$g(x)=1+\frac{1}{x}-\frac{lnx}{x}$則${g^'}(x)=-\frac{1}{x^2}-\frac{1-lnx}{x^2}=\frac{lnx-2}{x^2}$
易得g(x)在(0,e2)上單調(diào)遞減,在(e2,+∞)上單調(diào)遞增,
所以$g{(x)_{min}}=g({e^2})=1-\frac{1}{e^2}$
所以$m≤1-\frac{1}{e^2}$.

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線方程、善于把問題恰當(dāng)轉(zhuǎn)化為已經(jīng)證明的問題是解題的關(guān)鍵.

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