Question

（本小題滿分12分）
如圖，四棱錐的底面為正方形，側(cè)棱底面，且，分別是線段的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：//平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）求二面角的大�。�

Answer 1

（1）、（2）見(jiàn)解析；（3）

（1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823223004741436.png" style="vertical-align:middle;" />分別是線段的中點(diǎn)，所以，由線面平行的判定定理得//平面；（2）由已知易證平面，所以，又，
分別是線段的中點(diǎn)，得，根據(jù)線面垂直的判定定理得平面；（3）由二面角的定義知就是所求二面角的平面角，等于.另解：因?yàn)樗睦忮F的底面為正方形，側(cè)棱底面，可建立空間直角坐標(biāo)系，寫出需要的各點(diǎn)坐標(biāo).（1）只需證出與共線；（2）只需證與平面內(nèi)的任意兩個(gè)不共線向量垂直；（3）需求出平面的法向量和平面的法向量，把二面角轉(zhuǎn)化為兩個(gè)法向量的夾角，注意角的范圍.
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

,
，，，．…………1分
（Ⅰ）證明：
∵，，
∴,
∵平面，且平面，
∴//平面．………………………………4分
（Ⅱ）證明：
，，，
  
，
又，
∴平面． ………………………………………………8分
（Ⅲ）設(shè)平面的法向量為,
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823223006332658.png" style="vertical-align:middle;" />，，
則取 
又因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823223005427479.png" style="vertical-align:middle;" />的法向量為
所以 

所以二面角的大小為．…………………………………12分