Question

已知函數(shù)f（x）=

cosx (-π≤x＜0) sinx  (0≤x≤π)

（1）若f（x）=

1

2

，求x的值；
（2）若a為常數(shù)，且a∈R，試討論方程f（x）=a的解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）作出函數(shù)f（x）=

cosx (-π≤x＜0) sinx  (0≤x≤π)

的圖象，如圖所示，由f（x）=

1

2

，分當(dāng)-π＜x＜0時(shí)，和當(dāng)0≤x≤π時(shí)兩種情況，分別求得x的值，綜上可得結(jié)論．
（2）若a∈R，討論方程f（x）=a的解的個(gè)數(shù)，即函數(shù)f（x）的圖象和直線y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．?dāng)?shù)形結(jié)合可得結(jié)論

解答： 解：（1）作出函數(shù)f（x）=

cosx (-π≤x＜0) sinx  (0≤x≤π)

的圖象，如圖所示：
∵f（x）=

1

2

，當(dāng)-π＜x＜0時(shí)，由cosx=

1

2

，可得x=-

π

3

．
當(dāng)0≤x≤π時(shí)，由sinx=

1

2

，可得x=

π

6

，或x=

5π

6

．
綜上可得，要求的x的值共計(jì)三個(gè)：x=-

π

3

，或x=

π

6

，或x=

5π

6

．
（2）若a∈R，討論方程f（x）=a的解的個(gè)數(shù)，即函數(shù)f（x）的圖象和直線y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
數(shù)形結(jié)合可得，當(dāng)a＞1，或 a＜-1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象和直線y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；
當(dāng)-1≤a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象和直線y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；
當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象和直線y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；
當(dāng)0≤a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象和直線y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3．

點(diǎn)評：本題主要考查正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，解三角方程，方程的根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．