Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，沿其對(duì)角線BD將折起至，使得點(diǎn)在平面ABCD內(nèi)的射影恰為點(diǎn)B，點(diǎn)E為的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面BDE；

（Ⅱ）若，求與平面BDE所成的角．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）連接交于點(diǎn)，連接，證得，再結(jié)合線面平行的判定定理，即可證得平面；

（Ⅱ）通過(guò)線面垂直來(lái)證明面面垂直，結(jié)合根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理來(lái)得到線面垂直，從而得到是與平面所成的角，在中，即可求解．

（Ⅰ）如圖所示，連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，

連接，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，則，

且平面，平面，所以平面．

（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰為點(diǎn)，所以，

從而可知，故，且，

所以平面，則有，

不妨設(shè)，則，，，，則，如圖所示，在平面與平面上分別過(guò)點(diǎn)，作的垂線，垂足重合，記為，

所以平面且平面，故平面平面,

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則是與平面所成的角，

在中，，，所以，

又由，所以直線與平面所成的角為．