Question

如圖，直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=

3

．點(diǎn)M，N分別在邊AB和AC上（M點(diǎn)和B點(diǎn)不重合），將△AMN沿MN翻折，△AMN變?yōu)椤鰽′MN，使頂點(diǎn)A′落在邊BC上（A′點(diǎn)和B點(diǎn)不重合）．設(shè)∠AMN=θ．
（Ⅰ）用θ表示線段AM的長(zhǎng)度，并寫(xiě)出θ的取值范圍；
（Ⅱ）求線段A′N(xiāo)長(zhǎng)度的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專(zhuān)題：應(yīng)用題,解三角形

分析：（1）設(shè)MA=MA'=x，則MB=1-x，在Rt△MBA'中，利用三角函數(shù)可求；
（2）求線段A'N長(zhǎng)度的最小值，即求線段AN長(zhǎng)度的最小值，再利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，從而求最值．

解答： 解：（I）易知△AMN≌△A′MN，∴∠A′MA=2θ，
則∠A′MB=180°-2θ，∠BA′M=90°-（180°-2θ）=2θ-90°，
設(shè)MA=MA′=x，則MB=1-x，
在Rt△MBA′中，sin（2θ-90°）=-cos2θ=

1-x

x

，
∴MA=x=

1

1-cos2θ

=

1

2sin2θ

，
∵點(diǎn)M在線段AB上，M點(diǎn)和B點(diǎn)不重合，A′點(diǎn)和B點(diǎn)不重合，
∴45°＜θ＜90°；
（II）在△AMN中，由∠AMN=θ，可得∠ANM=

2π

3

-θ
∴根據(jù)正弦定理得：

AN

sinθ

=

MA

sin( 2π 3 -θ)

，
∴AN=

1

2sinθsin( 2π 3 -θ)

令t=2sinθsin（120°-θ）=2sinθ（

1

2

sinθ+

3

2

cosθ）
=sin²θ+

3

sinθcosθ=

1

2

+

3

2

sin2θ-

1

2

cos2θ=

1

2

+sin（2θ-30°），
∵45°＜θ＜90°，∴60°＜2θ-30°＜150°，
當(dāng)且僅當(dāng)2θ-30°=90°，θ=60°時(shí)，t有最大值

3

2

，
則θ=60°時(shí)，AN有最小值為

2

3

，即線段A′N(xiāo)長(zhǎng)度的最小值為

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型，從而利用三角函數(shù)中研究最值的方法解決最值問(wèn)題，應(yīng)注意角的范圍的確定是關(guān)鍵．