Question

已知點(diǎn)（x，y）是不等式組

x≥1 x+y≤4 ax+by+c≥0

表示的平面區(qū)域內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為7，最小值為1，則

a+b+c

a

的值為（　�。�

• A．2
• B．

  1

  2

• C．-2
• D．-1

Answer 1

分析：根據(jù)題意，作出不等式組

x≥1 x+y≤4 ax+by+c≥0

表示的三角形區(qū)域如圖，再將直線l：z=2x+y進(jìn)行平移，可得使z取得最小值1的點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，-1），取得最大值7的點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，1），最后將A、B坐標(biāo)代入第三個(gè)不等式對(duì)應(yīng)的直線方程，可得b=-a，c=-2a，從而求出

a+b+c

a

的值．

解答：解：∵目標(biāo)函數(shù)z=2x+y在不等式組

x≥1 x+y≤4 ax+by+c≥0

表示的平面區(qū)域內(nèi)既有最大值，也有最小值
∴不等式組

x≥1 x+y≤4 ax+by+c≥0

表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形區(qū)域（含邊界）
作出可行域如右圖，將直線l：z=2x+y，即y=-2x+z進(jìn)行平移，可得
當(dāng)l經(jīng)過(guò)直線x=1和ax+by+c=0的交點(diǎn)A（1，y₀）時(shí)，z取得最小值1；
當(dāng)l經(jīng)過(guò)直線x+y=4和ax+by+c=0的交點(diǎn)B（x₁，y₁）時(shí)，z取得最大值7．
∴1×2+y₀=1，解之得y₀=-1且

x1+y1=4 2x1+y1=7

，解之得

x1=3 y1=1

因此，A的坐標(biāo)為（1，-1），B的坐標(biāo)為（3，1），代入不等式第三式對(duì)應(yīng)直線，
可得

a-b+c=0 3a+b+c=0

，所以b=-a，c=-2a，可得

a+b+c

a

=

a+(-a)+(-2a)

a

=-2
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題給出一個(gè)待定的平面區(qū)域，在已知目標(biāo)函數(shù)的最值時(shí)求字母參數(shù)的比值，著重考查了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用的知識(shí)，屬于中檔題．