Question

（2011•洛陽二模）如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC為正三角形，A₁A=AC=2，∠A₁AC=60°，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，O為AC的中點．
（1）證明：A₁O⊥BC；
（2）若M，N分別是A₁C₁，BC的中點，求直線MN與平面ABC所成的角．

Answer 1

分析：（1）連接A₁C，由已知可判斷△A₁AC為正三角形，根據等邊三角形三線合一結合平面A₁ACC₁⊥平面ABC，可得A₁O⊥平面ABC，進而由線面垂直的定義，得到A₁O⊥BC；
（2）連接MC，可證得四邊形A₁OCM為平行四邊形，結合（1）的結論及線面垂直的第二判定定理可得MC⊥平面ABC，則∠MNC為直線MN與平面ABC所成的角，解三角形MNC可得答案．

解答：證明：（1）連接A₁C
∵A₁A=AC=2，∠A₁AC=60°，
∴△A₁AC為正三角形
又∵O為AC的中點
∴A₁O⊥AC
∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，且平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，A₁O?平面A₁ACC₁
∴A₁O⊥平面ABC，
∵BC?平面ABC
∴A₁O⊥BC
解：（2）連接MC
∵M，O分別是A₁C₁，AC的中點．
∴四邊形A₁OCM為平行四邊形
∵A₁O⊥平面ABC，A₁O∥MC
∴MC⊥平面ABC，且MC=A₁O
∴∠MNC為直線MN與平面ABC所成的角
由（1）得MC=

3

，NC=1
在Rt△MNC中，tan∠MNC=

MC

NC

=

3

∴∠MNC=60°
即直線MN與平面ABC所成的角為60°

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，直線與平面垂直的性質，其中熟練掌握空間線面垂直，線線垂直，面面垂直之間的相互轉化關系是解答的關鍵．