Question

在區(qū)間[0，1]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)m，n，則關(guān)于函數(shù)f（x）=

4

3

mx2-nx+1在[1，+∞）上為增函數(shù)的概率為

 

．

Answer 1

分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是幾何概型的意義，關(guān)鍵是要找出函數(shù)f（x）=

4

3

mx2-nx+1在[1，+∞）上為增函數(shù)時(shí)，點(diǎn)（m，n）對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域面積的大小，及m∈[0，1]，n∈[0，1]時(shí)，點(diǎn)（m，n）對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域面積的大小，并將它們代入幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行解答．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=

4

3

mx2-nx+1
∴y'=4mx²-n，
若函數(shù)f（x）=

4

3

mx2-nx+1在[1，+∝）上為增函數(shù)
則y'=4mx²-n≥0在[1，+∝）上恒成立，
即4m-n≥0，其對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如下圖中陰影所示：
則函數(shù)y=

2

3

mx³-nx+1在[1，+∝）上為增函數(shù)的概率P=

S陰影

S正方形

=

1- 1 8

1

=

7

8

故答案為：

7

8

．

點(diǎn)評(píng)：幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長(zhǎng)度、面積、體積等，而且這個(gè)“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無(wú)關(guān)．解決的步驟均為：求出滿足條件A的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”N（A），再求出總的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”N，最后根據(jù)P=

N(A)

N

求解．