Question

設(shè)函數(shù)f（x）＝＋，g（x）＝ln（2ex）（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（1）求y＝f（x）－g（x）（x＞0）的最小值；
（2）是否存在一次函數(shù)h（x）＝kx＋b使得f（x）≥h（x）且h（x）≥g（x）對(duì)一切x＞0恒成立；若存在，求出一次函數(shù)的表達(dá)式，若不存在，說(shuō)明理由：
3）數(shù)列{}中，a₁＝1，＝g（）（n≥2），求證：＜＜＜1且＜．

Answer 1

（1）最小值0；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.

試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求解即可；（2）假設(shè)存在，，，然后利用導(dǎo)數(shù)求出最小值判斷即可；（3）先證遞減且由（2）知時(shí)，又在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，總有，即也成立，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明.
試題解析：（1）
易知時(shí)，時(shí)
所以在上遞減，而在上遞增                   2分
故時(shí)，取最小值0                          3分
（2）由（1）可知，
所以若存在一次函數(shù)使得
且總成立，則，即；
所以可設(shè)，代入得恒成立，
所以，所以，，
此時(shí)設(shè)，則，
易知在上遞減，在上遞增，
所以，即對(duì)一切恒成立；
綜上，存在一次函數(shù)符合題目要求                          6分
（3）先證遞減且
由（2）知時(shí)，又在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，
總有，即也成立
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
（1）時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/201408240251155141252.png" style="vertical-align:middle;" />，所以成立；
（2）假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立，即
由于時(shí)，，又在上遞增，
則，即也成立
由（1）（2）知，恒成立；而時(shí)
所以遞減
綜上所述                          9分
所以
                          12分