Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²-4，（a∈R）
（Ⅰ）若y=f（x）的圖象在點(diǎn)p（1，f（1））處的切線的傾斜角為

π

4

，求a
（Ⅱ）設(shè)f（x）的導(dǎo)函數(shù)是f′（x），在（Ⅰ）的條件下，若m，n∈[-1，1]，求f（m）+f′（n）的最小值．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值等于函數(shù)圖象在該點(diǎn)的切線的斜率．
（2）利用導(dǎo)數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的符號(hào)，確定函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)最值．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=-3x²+2ax
由已知f′(x)=tan

π

4

=1即-3+2a=1
∴a=2（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-x³+2x²-4
f′(x)=-3x2+4x=-3x(x-

4

3

)
當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，如下表：

可見(jiàn)，n∈[-1，1]時(shí)，f′（x）最小值為f′（-1）=-7
m∈[-1，1]時(shí)，f（m）最小值為f（0）=-4
∴f（m）+f′（n）的最小值為-11

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)意義，及用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的方法．