Question

在正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為棱BB₁和DD₁的中點(diǎn).

（1）求證：平面B₁FC//平面ADE；
（2）試在棱DC上取一點(diǎn)M，使平面ADE；
（3）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，求四面體A­₁—FEA的體積.

Answer 1

（1）E、F分別為正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁棱BB₁和DD₁中點(diǎn). 四邊形DFB₁E為平行四邊形，即FB₁//DE，由又
平面B₁FC//平面ADE（2）取DC中點(diǎn)M（3）

試題分析：（1）證明：E、F分別為正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁棱BB₁和DD₁中點(diǎn).


四邊形DFB₁E為平行四邊形，
即FB₁//DE，
由       2分
又
平面B₁FC//平面ADE.       4分
（2）證明：取DC中點(diǎn)M，連接D₁M，
由正方體性質(zhì)可知，，
且        5分
所以
又
所以
所以       6分
又
平面B₁FC₁
又由（1）知平面B₁FC₁//平面ADE.
所以平面ADE.       8分
（3）方法一：由正方體性質(zhì)有點(diǎn)F到棱AA₁的距離及點(diǎn)E到側(cè)面A₁ADD₁的距離都是棱長(zhǎng)1  9分

     12分
方法二：取EF中點(diǎn)O₁，
把四面體分割成兩部分F—AA₁O₁，E—AA₁O₁
        10分
E、F分 為正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁棱BB₁和DD₁中點(diǎn)，

由正方體性質(zhì)有，O₁為正方體的中心.
平面AA₁O，
O₁到AA₁的距離為面對(duì)角線的一半，

      12分
點(diǎn)評(píng)：判定兩面平行常用的方法是其中一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線平行于另外一面；判定線面垂直常用方法是直線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線；椎體體積