Question

在(x-

2

3 x

)10的展開式中，
（1）寫出展開式含x²的項(xiàng)；
（2）如果第3r項(xiàng)和第r+2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求r的值．

Answer 1

分析：（1）展開式的通項(xiàng)  T_k+1 =(-1)k2k

C

k 10

x10-

4

3

k，令10-

4

3

k=2，可得 k的值，從而得到含x²的項(xiàng)．
（2）由 C₁₀^3r-1=C₁₀^r+1，可得3r-1=r+1或 3r-1+r+1=10，求出整數(shù) r 的值．

解答：解：（1）展開式的通項(xiàng)  T_k+1 =C₁₀^Kx^10-k(-

2

3 x

)k=(-1)k2k

C

k 10

x10-

4

3

k，令10-

4

3

k=2，可得 k=6．
∴含x²的項(xiàng)是(-1)626

C

6 10

x10-

4

3

•6=2⁶C₁₀⁶x² =13440x²．
（2）∵C₁₀^3r-1=C₁₀^r+1，∴3r-1=r+1或 3r-1+r+1=10，∴r=1 或r=

5

2

．
∴r=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵．