Question

（本題滿分14分）如圖，中，是的中點(diǎn)，，．將沿折起，使點(diǎn)與圖中點(diǎn)重合．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）當(dāng)三棱錐的體積取最大時(shí)，求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試問在線段上是否存在一點(diǎn)，使與平面所成的角的正弦值為？證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

（Ⅰ）點(diǎn)，

即，

又∵；

（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，且為線段的中點(diǎn)

證明如下:設(shè)，

又平面的法向量，依題意得

解得舍去）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）欲證，需證明垂直平面內(nèi)兩條直線，

在三角形ABC中，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022106031871705092/SYS201502210603244829705533_DA/SYS201502210603244829705533_DA.016.png">，是的中點(diǎn)，所以；

又因?yàn)樵谡郫B的過程中，保持不變，即，，

所以結(jié)論成立；

（Ⅱ）在平面內(nèi)，作于點(diǎn)，則由（1）及已知可得當(dāng)與重合時(shí)，三棱錐的體積最大，并過點(diǎn)作于點(diǎn)，連，則為

在中，易得的值，即為所求；

（Ⅲ）根據(jù)圖形及已知條件分析可得，存在線段上中點(diǎn)，使與平面所成的角的正弦值為，求出平面的法向量，根據(jù)與平面所成的角的正弦值為建立等式關(guān)系，即可求得結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）點(diǎn)，

即，

又∵；

（Ⅱ）在平面內(nèi)，作于點(diǎn)，則由（Ⅰ）可知

又，，即是三棱錐的高，

又，所以當(dāng)與重合時(shí)，三棱錐的體積最大，

過點(diǎn)作于點(diǎn)，連，由（Ⅰ）知

，

為

，

（Ⅲ）存在，且為線段的中點(diǎn)

證明如下：設(shè)，

又平面的法向量，依題意得

解得舍去）.

考點(diǎn)：線面垂直；二面角的求法；空間向量在立體幾何中的應(yīng)用.