Question

（1）當(dāng)你手握直角三角板，其斜邊保持不動(dòng)，將其直角頂點(diǎn)提起一點(diǎn)，則直角在平面內(nèi)的正投影是銳角、直角 還是鈍角？

（2）根據(jù)第（1）題，你能猜想某個(gè)角在一個(gè)平面內(nèi)的正投影一定大于這個(gè)角嗎？如果正確，請(qǐng)證明；如果錯(cuò)誤，則利用下列三角形舉出反例：△ABC中，，

，以∠BAC為例。

Answer 1

（1）直角在平面內(nèi)的正投影是鈍角；

（2）原猜想錯(cuò)誤。∠BAC在一個(gè)平面內(nèi)的正投影∠BA₁C小于它本身。

解析:

（1）記Rt△ABC，∠BAC=90⁰，記直角頂點(diǎn)A在平面上的正投影為A_1??，，且AA₁=，則因?yàn)?img width=377 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/120/410720.gif">，所以∠BA₁C為鈍角，即直角在平面內(nèi)的正投影是鈍角；

（2）原猜想錯(cuò)誤。對(duì)于△ABC， ，記直角頂點(diǎn)A在平面上的正投影為A_1??，設(shè)AA₁=，則，令∠BAC=∠BA₁C，則由余弦定理得：

=，解之得：，即當(dāng)點(diǎn)A離平面的距離是時(shí)，∠BAC在一個(gè)平面內(nèi)的正投影∠BA₁C等于它本身；

若取，則，從而，

，可知∠B A₁C∠BAC，即∠BAC在一個(gè)平面內(nèi)的正投影∠BA₁C小于它本身。