Question

已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，a_n＞0，（a_n+1-S_n）²=S_n+1•S_n且a₁=2，則a_n=

 

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Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用（a_n+1-S_n）²=S_n+1•S_n，可得{S_n}是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，求出S_n，再利用n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，即可得出結(jié)論．

解答： 解：∵（a_n+1-S_n）²=S_n+1•S_n，
∴（S_n+1-2S_n）²=S_n+1•S_n，
∴（S_n+1-S_n）（S_n+1-4S_n）=0，
∵a_n＞0，
∴S_n+1-4S_n=0，
∵a₁=2，
∴{S_n}是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
∴S_n=2^2n-1，
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=6•4^n-2，
∵a₁=2，
∴a_n=

2，n=1 6•4n-2，n≥2

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故答案為：

2，n=1 6•4n-2，n≥2

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點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，巧用a_n=s_n-s_n-1是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．