Question

在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且b²+c²-a²=bc．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，當(dāng)f（B）取最大值時(shí)，判斷△ABC的形狀；
（Ⅲ）求函數(shù)的最小正周期和最大值及最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，將已知的等式代入求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（Ⅱ）將函數(shù)解析式兩項(xiàng)分別利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，表示出f（B），根據(jù)A的度數(shù)，得出B的范圍，求出這個(gè)角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出f（B）取得最大值時(shí)B的度數(shù)，可得出此時(shí)C的度數(shù)，進(jìn)而判斷出此三角形為等邊三角形；
（Ⅲ）由第二問(wèn)得出的函數(shù)解析式，找出ω的值，代入周期公式，即可求出函數(shù)的最小正周期；根據(jù)正弦函數(shù)的值域?yàn)閇-1，1]，求出函數(shù)的值域，即可得到函數(shù)的最小值與最大值．
解答：解：（Ⅰ）∵b²+c²-a²=bc，
∴由余弦定理得：cosA===，
∵0＜A＜π，
∴A=；
（Ⅱ）f（x）=sincos+cos²=sinx+cosx+=sin（x+）+，
∴f（B）=sin（B+）+，
∵A=，∴B∈（0，），
∴＜B+＜，
∴當(dāng)B+=，即B=時(shí)，f（B）有最大值是，
又∵A=，∴C=，
∴△ABC為等邊三角形；
（Ⅲ）∵ω=1，
∴T=2π；
∵-1≤sin（x+）≤1，
∴-≤sin（x+）+≤，
則函數(shù)的最大值為，最小值為-．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及三角函數(shù)的周期性及其求法，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．