Question

已知函數(shù)f（x）=（m-1）x²-n（x∈[0，1]）的反函數(shù)為f^-1（x），且m為函數(shù)g（x）=lnx與函數(shù)h（x）=的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，n=，則函數(shù)y=[f^-1（x）]²+的值域是（ ）
A．[0，1]
B．[1，1+]
C．[-1，]
D．{0}

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)題設(shè)，求出函數(shù)f（x）=（m-1）x²-n（x∈[0，1]）的解析式，進(jìn)而可求其反函數(shù)為f^-1（x），再求函數(shù)y=[f^-1（x）]²+的值域．
解答：解：由題意，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，函數(shù)g（x）=lnx與函數(shù)h（x）=有交點(diǎn)（1，0）
當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)g（x）=lnx與函數(shù)h（x）=x²-4x+3有一個(gè)交點(diǎn)，
∵m為函數(shù)g（x）=lnx與函數(shù)h（x）=的交點(diǎn)個(gè)數(shù)
∴m=2
∵n=，
則==1
∴函數(shù)f（x）=（m-1）x²-n=x²-1（x∈[0，1]）
∴f^-1（x）=（x∈[-1，0]）
∴函數(shù)y=[f^-1（x）]²+=1+x+
∵x²-1≥0
∴x≥1或x≤-1
∵x∈[-1，0]
∴x=-1
∴y=1-1+0=0
∴函數(shù)y=[f^-1（x）]²+的值域是{0}
故選D
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查反函數(shù)，考查圖象的交點(diǎn)，考查函數(shù)的值域，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的解析式，確定函數(shù)的定義域．