Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²

x

2

+2sin

x

2

cos

x

2

+b．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是3，求b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數(shù)解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可確定出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)x的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的定義域與值域確定出f（x）的值域，表示出f（x）的最小值即可求出b的值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=cosx+1+sinx+b=

2

sin（x+

π

4

）+b+1，
令2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得：2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

，k∈Z，
則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]，k∈Z；
（Ⅱ）f（x）=

2

sin（x+

π

4

）+b+1，
∵0≤x≤π，∴

π

4

≤x+

π

4

≤

5π

4

，
∴-

2

2

≤sin（x+

π

4

）≤1，
∴f（x）min=

2

×（-

2

2

）+1+b=-1+1+b=b，
∵函數(shù)f（x）的最小值是3，
∴b=3．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．